Le rectangle d'or

L'objectif de cette activité est d'étudier les proportions du rectangle appelé « \(\,\) rectangle d'or \(\,\) » .

Question préliminaire
Résoudre l’équation `x^2-x-1=0` .
Donner les valeurs exactes de ses solutions ainsi que les valeurs approchées à `10^-3`  près.

Partie A - Étude du rectangle d'or
Soit `\text{ABCD}` un rectangle, non aplati, de longueur  `L` et largeur \(\ell\) .
Soit `\text{EBCF}` le rectangle obtenu en retirant le carré de coté  \(\text{[AD]}\) (voir figure ci-dessous).

On dit que \(\text{ABCD}\) est un rectangle d’or si on a `\frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{BC}}{\text{FC}}` .

1. Démontrer que si `\text{ABCD}` est un rectangle d’or alors on a   \(\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{\ell}{L-\ell}\) .
2. Soit \(x=\dfrac{L}{\ell}\) . Démontrer que l’égalité établie à la question précédente est équivalente à   `x^2-x-1=0` . On obtient donc une équation du second degré.

3. Résoudre l'équation précédente. La solution positive de cette équation s’appelle nombre d’or et on l’indique souvent avec la lettre grecque `\phi` . Donner la valeur exacte de  `\phi` puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

Partie B - Application (d'après le sujet national d'Olympiades 2024 de première)
Considérons deux rectangles identiques `\text{ABCD}` et  \(\text{A}^{\prime} \text{B}^{\prime} \text{C}^{\prime} \text{D}^{\prime}\)  de longueur  `L` et largeur  \(\ell\) disposés comme dans la figure ci-dessous. Démontrer que les points \(\text{A} \text{C} \text{B}^{\prime}\) sont alignés lorsque \(\frac{L}{\ell}\) est le nombre d'or.